Programación Lineal

3.1 Conceptos básicos de problemas de programación no lineal

La Programación no Lineal (PNL) es una parte de la Investigación Operativa cuya misión es proporcionar una serie de resultados y técnicas tendentes a la determinación de puntos óptimos para una función (función objetivo) en un determinado conjunto (conjunto de oportunidades), donde tanto la función objetivo, como las que intervienen en las restricciones que determinan el conjunto de oportunidades pueden ser no lineales.

Evidentemente, la estructura del problema puede ser muy variada, según las funciones que en él intervengan (a diferencia de la Programación Lineal (PL) donde la forma especial del conjunto de oportunidades y de la función objetivo permiten obtener resultados generales sobre las posibles soluciones y facilitan los tratamientos algorítmicos de los problemas).

Ello ocasiona una mayor dificultad en la obtención de resultados, que se refleja también en la dificultad de la obtención numérica de las soluciones. En este sentido, hay que distinguir entre las diversas caracterizaciones de óptimo, que sólo se emplean como técnicas de resolución en problemas sencillos, y los métodos numéricos iterativos, cuyo funcionamiento se basa en estas caracterizaciones, para la resolución de problemas más generales.

CONCEPTOS BASICOS

La programación lineal da respuesta a situaciones en las que se exige maximizar o minimizar funciones que se encuentran sujetas a determinadas limitaciones, que llamaremos restricciones.

Su empleo es frecuente en aplicaciones de la industria, la economía, la estrategia militar, etc.
Función objetivo

En esencia la programación lineal consiste en optimizar (maximizar o minimizar) una función objetivo, que es una función lineal de varias variables:

f(x,y) = ax + by.
Restricciones

La función objetivo está sujeta a una serie de restricciones, expresadas por inecuaciones lineales:
a1x + b1y ≤ c1
a2x + b2y ≤c2
… … …
anx + bny ≤cn


Cada desigualdad del sistema de restricciones determina un semiplano.
Solución factible

El conjunto intersección, de todos los semiplanos formados por las restricciones, determina un recinto, acotado o no, que recibe el nombre de región de validez o zona de soluciones factibles.
Solución óptima

El conjunto de los vértices del recinto se denomina conjunto de soluciones factibles básicas y el vértice donde se presenta la solución óptima se llama solución máxima (o mínima según el caso).
Valor del programa lineal

El valor que toma la función objetivo en el vértice de solución óptima se llama valor del programa lineal.

PASOS PARA RESOLVER UN PROBLEMA DE PROGRAMACIÓN LINEAL



REPORT THIS AD

REPORT THIS AD



1. Elegir las incógnitas.

2. Escribir la función objetivo en función de los datos del problema.

3. Escribir las restricciones en forma de sistema de inecuaciones.

4. Averiguar el conjunto de soluciones factibles representando gráficamente las restricciones.

5. Calcular las coordenadas de los vértices del recinto de soluciones factibles (si son pocos).

6. Calcular el valor de la función objetivo en cada uno de los vértices para ver en cuál de ellos presenta el valor máximo o mínimo según nos pida el problema (hay que tener en cuenta aquí la posible no existencia de solución si el recinto no está acotado).

3.2 Ilustración Gráfica De Problemas De Programación No Lineal

Cuando un problema de programación no lineal tiene sólo una o dos variables, se puede re­presentar gráficamente de forma muy parecida al ejemplo de la Wyndor Glass Co. de progra­mación lineal, de la sección 3.1. Se verán unos cuantos ejemplos, ya que una representación gráfica de este tipo proporciona una visión global de las propiedades de las soluciones ópti­mas de programación lineal y no lineal. Con el fin de hacer hincapié en las diferencias entre programación lineal y no lineal, se usarán algunas variaciones no lineales del problema de la Wyndor Glass Co.



La figura 13.5 muestra lo que ocurre con este problema si los únicos cambios que se ha­cen al modelo de la sección 3.1 son que la segunda y tercera restricciones funcionales se susti­tuyen por la restricción no lineal 9x{ + 5x2 < 216. Compare las figuras 13.5 y 3.3. La solu­ción óptima sigue siendo (a^ , x2) = (2,6). Todavía se encuentra sobre la frontera de la región factible, pero no es una solución factible en un vértice (FEV). La solución óptima pudo haber sido una solución FEV con una función objetivo diferente (verifique Z = 3xx + x2), pero que no necesite serlo significa que ya no se puede aprovechar la gran simplificación utilizada en programación lineal que permite limitar la búsqueda de una solución óptima para las solu­ciones FEV



Ahora suponga que las restricciones lineales de la sección 3.1 se conservan sin cambio, pero que la función objetivo se hace no lineal. Por ejemplo, si











entonces la representación gráfica en la figura 13.6 indica que la solución óptima es xx – x2 = 5, que de nuevo se encuentra en la frontera de la región factible. (El valor óptimo de Z es Z = 857; así, la figura 13.6 muestra el hecho de que el lugar geométrico de todos los puntos para los que Z = 857 tiene en común con la región factible sólo este punto, mientras que el lu­gar geométrico de los puntos con Z más grande no toca la región factible en ningún punto.) Por otro lado, si







entonces la figura 13.7 ilustra que la solución óptima es (*l5 x2 ) = (3,3), que se encuentra dentro de la frontera de la región factible. (Se puede comprobar que esta solución es óptima si se usa cálculo para derivarla como un máximo global no restringido; como también satisface las restricciones, debe ser óptima para el problema restringido.) Por lo tanto, es necesario que











un algoritmo general para resolver problemas de este tipo tome en cuenta todas las soluciones en la región factible, y no sólo aquellas que están sobre la frontera.



Otra complicación que surge en programación no lineal es que un máximo local no nece­sariamente es un máximogbbal (la solución óptima global). Por ejemplo, considere la fun­ción de una sola variable graficada en la figura 13.8. En el intervalo 0 < x < 5, esta función tiene tres máximos locales — x=0,x=2,x=4—pero sólo uno de éstos—x – 4—es un má­ximo global. (De igual manera, existen mínimos locales en x = 1,3 y 5, pero sólo x = 5 es un mí­nimo global.)



En general, los algoritmos de programación no lineal no pueden distinguir entre un má­ximo local y un máximo global (excepto si encuentran otro máximo local mejor), por lo que es determinante conocer las condiciones bajo las que se garantiza que un máximo local es un máximo global en la región factible. Recuerde que en cálculo, cuando se maximiza una fun­ción ordinaria (doblemente diferenciable) de una sola variable f(x) sin restricciones, esta ga­rantía está dada cuando







Una función de este tipo cuya curvatura siempre es “hacia abajo” (o que no tiene curvatura) se llama función cóncava.1 De igual manera, si se sustituye < por >, de manera que la función tiene siempre una curvatura “hacia arriba” (o no tiene curvatura), se llama función convexa.2 (Así, una función lineal es tanto cóncava como convexa.) En la figura 13.9 se pueden ver ejemplos de esto. Note que la figura 13.8 ilustra una función que no es cóncava, ni convexa pues alterna sus curvaturas hacia arriba y hacia abajo.



Las funciones de variables múltiples también se pueden caracterizar como cóncavas o convexas si su curvatura es siempre hacia abajo o hacia arriba. Estas definiciones intuitivas se fundamentan en términos precisos que, junto con cierta profundización en los conceptos, se presentan en el apéndice 2. El apéndice 2 proporciona una prueba conveniente para verifi­car si una función de dos variables es cóncava, convexa o ninguna de las dos.



La siguiente es una forma conveniente de verificar esto para una función de más de dos variables cuando la función consiste en una suma de funciones más pequeñas cada una de sólo















una o dos variables. Si cada función más pequeña es cóncava, entonces la función completa es cóncava. De manera similar, la función completa es convexa si cada función más pequeña es convexa.







que es la suma de las dos funciones más pequeñas dadas en los paréntesis cuadrados. La pri­mera función más pequeña 4*! – x\ es una función de la variable xx nada más, por lo que puede verse que es cóncava si se observa que su segunda derivada es negativa. La segunda función más pequeña -(x2 – x¿ )2 es una fimción de x2 y por lo que se puede aplicar la prueba para funciones de dos variables dada en el apéndice 2. De hecho, este apéndice usa esta función en particular para ilustrar la prueba y encuentra que la función es cóncava. Como las dos funciones más pequeñas son cóncavas, la función completa f (jVj ,x2,x3) debe ser cóncava.



Si un problema de programación no lineal no tiene restricciones, el hecho de que la fun­ción objetivo sea cóncava garantiza que un máximo local es un máximoglobal. (De igual mane­ra, una función objetivo convexa asegura que un mínimo local es un mínimo global.) Si existen restricciones, entonces se necesita una condición más para dar esta garantía, a saber, que la re­gión factible sea un conjunto convexo. Como se analiza en el apéndice 2, un conjunto conve­xo es sencillamente un conjunto de puntos tales que, para cada par de puntos de la colección, el segmento de recta que los une está totalmente contenido en la colección. Así, la región fac­tible en el problema original de la Wyndor Glass Co. (vea la figura 13.6 o 13.7) es un conjun­to convexo. De hecho, la región factible para cualquier otro problema de programación lineal es un conjunto convexo. De igual manera, la región factible de la figura 13.5 también es un conjunto convexo.



En general la región factible para un problema de programación no lineal es un conjunto convexo siempre que todas las funciones g¡ (x) [para las restricciones g¿ (x) < b{ ] sean conve­xas. Para el ejemplo de la figura 13.5, las dos gt (x) son convexas, ya que gx (x) = xx (una fun­ción lineal es automáticamente cóncava y convexa) y g2 (x) = 9x\ + 5x\ (tanto 9x\ como 5x2 son funciones convexas, por lo que su suma es una función convexa). Estas dos funciones convexas g¡ (x) conducen a que la región factible de la figura 13.5 sea un conjunto convexo.



Ahora se analizará qué pasa cuando sólo una de estas funciones g¡ (x) es una función cón­cava. En particular, suponga que el único cambio que se hace al ejemplo de la figura 13.5 es











son funciones cóncavas. La nueva región factible mostrada en la figura 13.10 no es un conjun­to convexo. <Por qué? Porque contiene pares de puntos, como (0, 7) y (4, 3), tales que parte del segmento de recta que los une no está en la región factible. En consecuencia, no se puede garantizar que un máximo local sea un máximo global. De hecho, este ejemplo tiene dos má­ximos locales (0, 7) y (4, 3), pero sólo (0, 7) es un máximo global.



Entonces, para garantizar que un máximo local sea un máximo global para un problema de programación no lineal con restricciones (x) < b¡ (i = 1,2,…, m) y x > 0, la función obje­tivo /(x) debe ser cóncava y cada gí (x) debe ser convexa. Un problema de este tipo se llama problema de programación convexa y es una de las clases más importantes de la programación no lineal que se estudiará en la siguiente sección.

3.3 Tipos De Problemas De Programacion No Lineal


Los problemas de programación no lineal se presentan de muchas formas distintas. Al con­trario del método símplex para programación lineal, no se dispone de un algoritmo que re­suelva todos estos tipos especiales de problemas. En su lugar, se han desarrollado algoritmos para algunas clases (tipos especiales) de problemas de programación no lineal. Se introduci­rán las clases más importantes y después se describirá cómo se pueden resolver algunos de es­tos problemas.


Si la función objetivo f es lineal y el espacio restringido es un politopo, el problema es de Programación lineal y puede resolverse utilizando alguno de los bien conocidos algoritmos de programación lineal.


Si la función objetivo es cóncava (problema de maximización), o convexa (problema de minimización) y el conjunto de restricciones es convexo, entonces se puede utilizar el método general de Optimización convexa


Existe una variedad de métodos para resolver problemas no convexos. Uno de ellos consiste en utilizar formulaciones especiales de problemas de programación lineal. Otro método implica el uso de técnicas de Ramificación y poda, cuando el problema se divide en subdivisiones a resolver mediante aproximaciones que forman un límite inferior del coste total en cada subdivisión. Mediante subdivisiones sucesivas, se obtendrá una solución cuyo coste es igual o inferior que el mejor límite inferior obtenido por alguna de las soluciones aproximadas. Esta solución es óptima, aunque posiblemente no sea única. El algoritmo puede ser parado antes, con la garantía de que la mejor solución será mejor que la solución encontrada en un porcentaje acotado. Ello se utiliza en concreto en problemas importantes y especialmente difíciles y cuando el problema cuenta con costes inciertos o valores donde la incertidumbre puede ser estimada en un grado de fiabilidad apropiado.


Las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker proporcionan las condiciones necesarias para que una solución sea óptima.

Los tipos de problemas de programación no lineal son:
Optimización no restringida.
Optimización linealmente restringida.
Programación cuadrática
Programación convexa.
Programación separable.
Programación no convexa.
Programación geométrica.
Programación fraccional.
Problema de complementariedad.


ALGORITMOS SIN RESTRICCIÓN

En esta sección se presentarán dos algoritmos para el problema no restringido: el algoritmo de búsqueda directa y el algoritmo de gradiente.


Método de búsqueda directa

Los métodos de búsqueda directa se aplican principalmente a funciones estrictamente unimo- dales de una variable. Aunque puede parecer trivial el caso, la sección 21.1.2 muestra que la optimización de funciones de una variable juega un papel clave en el desarrollo de los algorit­mos de varias variables, más generales.

La idea de los métodos de búsqueda directa es identificar el intervalo de incertidum- bre que comprenda al punto de solución óptima. El procedimiento localiza el óptimo estre­chando en forma progresiva el intervalo de incertidumbre hasta cualquier grado de exactitud que se desee.

En esta sección se presentan dos algoritmos estrechamente relacionados: los métodos de búsqueda dicótomo y de sección dorada (o áurea). Ambos buscan la maximización de una fun­ción unimodal/(x) en el intervalo a ^ x < b, que se sabe que incluye el punto óptimo x*. Los dos métodos comienzan con /0 = (a, b) que representa el intervalo inicial de incertidumbre.

Paso general i. Sea /, _ , = (xD xR) el intervalo actual de incertidumbre (en la iteración 0, xL = a y xR = b). A continuación se definen xx y x2 tales que

xj^ ^ ^ x2 ^ xr

El siguiente intervalo de incertidumbre, /z, se define como sigue:
Si f(xx) > /(x2), entonces xL < x* < x2. Se definen xR = x2 e /, = (xL, x2) (véase la figura 21.2[a]).
Si f(xx) < f(x2\ entonces xx < x* < xR. Se definen xL = xx e I¡ = (xh xR) (véase la figura 21.1 [b]). .
Si f{x\) = /(jc2), entonces xx < x* < x2. Se definen xL = x2 e /, = (xb x2).



La manera en que se determinan xx y x2 garantiza que /, < /,_ p como se demostrará en breve. El algoritmo termina en la iteración ksilk< A, donde A es un grado de exactitud defi­nido por el usuario. *

La diferencia entre los métodos dicótomo y de sección dorada estriba en la forma en que se calculan xx y x2. La tabla siguiente presenta las fórmulas.





En el método dicótomo los valores jc, y x2 se encuentran simétricos respecto del punto medio del actual intervalo de incertidumbre. Esto significa que



La aplicación repetida del algoritmo garantiza que la longitud del intervalo de incertidumbre se acercará al nivel de exactitud deseado, A.

En el método de la sección dorada la idea es de mayor involucramiento. Se puede apre­ciar que cada iteración del método dicótomo requiere calcular los dos valores/(jc,) y f(x2), Pe” ro termina por descartar alguno de ellos. Lo que propone el método de la sección dorada es ahorrar cálculos mediante el reuso del valor descartado en la iteración inmediata siguiente. Para definir 0 < a < 1



Cuando el intervalo de incertidumbre /, en la iteración i es igual a (jc¿, x2) o a (xu xR). Conside­re el caso en que /, = (jcl, x2), lo cual significa que xx está incluido en /,. En la iteración /+1, seleccione x2 igual a jc, de la iteración /, lo cual lleva a la siguiente ecuación:

x2(iteración i+l) = x{(iteración i)





Comparado con el método dicótomo, el método de la sección dorada converge más rápida­mente hacia el nivel deseado de exactitud. Adicionalmente, cada iteración en el método de la sección dorada requiere la mitad de los cálculos, en virtud de que recicla siempre un conjunto de los cálculos correspondientes a la iteración inmediata anterior.
EJEMPLO



El máximo valor de f(x) ocurre en x = 2. La siguiente tabla muestra los cálculos para las iteraciones 1 y 2, usando el método dicotomo y el de la sección dorada. Supondremos que A = 0.1.



Al continuar de la misma forma, el intervalo de incertidumbre terminará por estrecharse hasta la tolerancia A deseada.



La plantilla ch21DichotomousGoldenSection.xls de Excel está diseñada para manejar cualquiera de estos dos métodos en forma automática. Los datos son/(*), a,b y A. La función f{x) se captura en la celda E3 como sigue:

= IF(C3< = 2,3*C3, (-C3+20)/3)


OPTIMIZACIÓN NO RESTRINGIDA



Los problemas de optimización no restringida no tienen restricciones, por lo que la función objetivo es sencillamente

Maximizar f(x)



sobre todos los valores x= (x1, x2,…,xn). Según el repaso del apéndice 3, la condición necesa­ria para que una solución específica x = x* sea óptima cuando f(x) es una función diferenciable es





Cuando f (x) es cóncava, esta condición también es suficiente, con lo que la obtención de x* se reduce a resolver el sistema de las n ecuaciones obtenidas al establecer las n derivadas parciales iguales a cero. Por desgracia, cuando se trata de funciones no lineales f (x), estas ecuaciones suelen ser no lineales también, en cuyo caso es poco probable que se pueda obtener una solu­ción analítica simultánea. ¿Qué se puede hacer en ese caso? Las secciones 13.4 y 13.5 descri­ben procedimientos algorítmicos de búsqueda para encontrar x* primero para n = 1 y luego para n > 1. Estos procedimientos también tienen un papel importante en la solución de varios tipos de problemas con restricciones, que se describirán en seguida. La razón es que muchos algo­ritmos para problemas restringidos están construidos de forma que se adaptan a versiones no restringidas del problema en una parte de cada iteración.

Cuando una variable Xj tiene una restricción de no negatividad, x- > 0, la condición ne­cesaria (y tal vez) suficiente anterior cambia ligeramente a





para cada j de este tipo. Esta condición se ilustra en la figura 13.11, donde la solución óptima de un problema con una sola variable es x = 0 aun cuando la derivada ahí es negativa y no cero. Como este ejemplo tiene una función cóncava para maximizar sujeta a una restricción de no negatividad, el que su derivada sea menor o igual a 0 en # = 0, es una condición necesaria y su­ficiente para que x= 0 sea óptima.



Un problema que tiene algunas restricciones de no negatividad y que no tiene restriccio­nes funcionales es un caso especial (m = 0) de la siguiente clase de problemas.


OPTIMIZACIÓN LINEALMENTE RESTRINGIDA



Los problemas de optimización linealmente restringida se caracterizan por restricciones que se ajustan por completo a la programación lineal, de manera que todas las funciones de restric­ción g¡ (x) son lineales, pero la función objetivo es no lineal. El problema se simplifica mucho si sólo se tiene que tomar en cuenta una función no lineal junto con una región factible de programación lineal. Se han desarrollado varios algoritmos especiales basados en una exten­sión del método símplex para analizar la función objetivo no lineal.



Un caso especial importante descrito a continuación es la programación cuadrática.

PROGRAMACIÓN CUADRÁTICA


De nuevo los problemas de programación cuadrática tienen restricciones lineales, pero ahora la función objetivo /(x) debe ser cuadrática. Entonces, la única diferencia entre éstos y un






problema de programación lineal es que algunos términos de la función objetivo incluyen el cuadrado de una variable o el producto de dos variables.


PROGRAMACIÓN CONVEXA


La programación convexa abarca una amplia clase de problemas, entre ellos como casos espe­ciales, están todos los tipos anteriores cuando /(x) es cóncava. Las suposiciones son
f(x) es cóncava.
Cada una de las g(x) es convexa.


PROGRAMACIÓN SEPARABLE


La programación separable es un caso especial de programación convexa, en donde la suposi­ción adicional es

Todas las funciones f(x) y g(x) son funciones separables.

Una función separable es una función en la que cada término incluye una sola variable, por lo que la función se puede separar en una suma de funciones de variables individuales. Por ejem­plo, si f(x) es una función separable, se puede expresar como






son cada tina funciones de una sola va­riable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.


Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cual­quier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.






son cada tina funciones de una sola va­riable x1 y x2, respectivamente. Usando el mismo razonamiento, se puede verificar que la función considerada en la figura 13.7 también es una función separable.


Es importante distinguir estos problemas de otros de programación convexa, pues cual­quier problema de programación separable se puede aproximar muy de cerca mediante uno de programación lineal y, entonces, se puede aplicar el eficiente método símplex.


PROGRAMACIÓN NO CONVEXA


La programación no convexa incluye todos los problemas de programación no lineal que no sa­tisfacen las suposiciones de programación convexa. En este caso, aun cuando se tenga éxito en encontrar un máximo local, no hay garantía de que sea también un máximo global. Por lo tanto, no se tiene un algoritmo que garantice encontrar una solución óptima para todos estos problemas; pero sí existen algunos algoritmos bastante adecuados para encontrar máximos lo­cales, en especial cuando las formas de las funciones no lineales no se desvían demasiado de aquellas que se supusieron para programación convexa. En la sección 13.10 se presenta uno de estos algoritmos.


Ciertos tipos específicos de problemas de programación no convexa se pueden resolver sin mucha dificultad mediante métodos especiales. Dos de ellos, de gran importancia, se pre­sentarán más adelante.


PROGRAMACIÓN GEOMÉTRICA

Cuando se aplica programación no lineal a problemas de diseño de ingeniería, muchas veces la función objetivo y las funciones de restricción toman la forma





En tales casos, las ci y a ty representan las constantes físicas y las x} son las variables de diseño. Estas funciones por lo general no son ni cóncavas ni convexas, por lo que las técnicas de pro­gramación convexa no se pueden aplicar directamente a estos problemas deprogramacióngeo- métrica. Sin embargo, existe un caso importante en el que el problema se puede transformar en un problema de programación convexa equivalente. Este caso es aquel en el que todos los coeficientes c¿ en cada función son estrictamente positivos, es decir, las funciones son polino­mios positivos generalizados (ahora llamados posinomiales), y la función objetivo se tiene que minimizar. El problema equivalente de programación convexa con variables de decisión yx, y2,…, yn se obtiene entonces al establecer





en todo el modelo original. Ahora se puede aplicar un algoritmo de programación convexa. Se ha desarrollado otro procedimiento de solución para resolver estos problemas de progra­mación posinomial, al igual que para problemas de programación geométrica de otros tipos.1


PROGRAMACIÓN FRACCIONAL

Suponga que la función objetivo se encuentra en la forma de una fracción, esto es, la razón o cociente de dos funciones,





Estos problemas de programación fraccional surgen, por ejemplo, cuando se maximiza la ra­zón de la producción entre las horas-hombre empleadas (productividad), o la ganancia entre el capital invertido (tasa de rendimiento), o el valor esperado dividido entre la desviación es­tándar de alguna medida de desempeño para una cartera de inversiones (rendimiento/ries­go). Se han formulado algunos procedimientos de solución especiales1 para ciertas formas de f1(x) y f2 (x)


Cuando se puede hacer, el enfoque más directo para resolver un problema de programa­ción fraccional es transformarlo en un problema equivalente de algún tipo estándar que dis­ponga de un procedimiento eficiente. Para ilustrar esto, suponga que f(x) es de la forma de programación fraccional lineal





donde c y d son vectores renglón, x es un vector columna y c0 y dQ son escalares. También su­ponga que las funciones de restricción g¡ (x) son lineales, es decir, las restricciones en forma matricial son Ax < b y x > 0.


Con algunas suposiciones débiles adicionales, el problema se puede transformar en un problema equivalente de programación lineal si se establece






que se puede resolver con el método símplex. En términos generales, se puede usar el mismo tipo de transformación para convertir un problema de programación fraccional con /¡(x) cóncava, f2 (x) convexa y g¡ (x) convexas, en un problema equivalente de programación con­vexa.

3.4 Optimización clásica

La teoría de optimización clásica o programación matemática está constituida por un conjunto de resultados y métodos analíticos y numéricos enfocados a encontrar e identificar al mejor candidato de entre una colección de alternativas, sin tener que enumerar y evaluar explícitamente todas esas alternativas. Un problema de optimización es, en general, un problema de decisión.


Con el fin de ilustrar de forma adecuada la estructura y composición de un problema de optimización, introduciremos a continuación un sencillo ejemplo.


Ejemplo 1(Construcción de una caja con volumen máximo) Supongamos que queremos determinar las dimensiones de una caja rectangular de forma que contenga el mayor volumen posible, pero utilizando para ello una cantidad fija de material. El problema en forma abstracta se podría plantear en los siguientes términos Maximizar Volumen de la caja sujeto a Área lateral fija Con el fin de resolver este problema habrá que modelizarlo matemáticamente, es decir tendremos que expresarlo en términos matemáticos.


El primer paso para modelizar un problema de optimización es identificar y definir las variables que están implicadas en dicho problema, en este caso y puesto que estamos tratando de determinar el tamaño de una caja rectangular, la opción más clara es considerar como variables sus tres dimensiones rectangulares usuales (ancho, largo, alto) y que representamos con x, y, z. Con estas variables, la función para la que tenemos que encontrar el mejor valor será el volumen de la caja que puede expresarse como V (x, y, z) = xyz.


A continuación debemos tener en cuenta las limitaciones existentes sobre el material. Como este material se utiliza para construir las paredes de la caja, necesitaremos considerar el área lateral de la misma, y si la caja tiene tapa, dicha área será A (x, y, z)= 2(xy + yz + zx).


Por último, teniendo en cuenta que las dimensiones de la caja no pueden ser negativas el problema puede expresarse matemáticamente como Maximizar xyz sujeto a 2 (xy + yz + zx) = A x, y, z ≥ 0.


Fundamentos de Optimización



En este ejemplo se distinguen tres elementos fundamentales: las variables del problema, una función de esas variables y un conjunto de relaciones que deben cumplir las variables del problema. Estos elementos se repetirán en todos los problemas de optimización y se definen formalmente a continuación:



1.- Variables de decisión: El primer elemento clave en la formulación de problemas de optimización es la selección de las variables independientes que sean adecuadas para caracterizar los posibles diseños candidatos y las condiciones de funcionamiento del sistema. Como variables independientes se suelen elegir aquellas que tienen un impacto significativo sobre la función objetivo.


Representaremos las variables independientes se representarán mediante vectores columna de Rn x = x1 . . . + xn o vectores fila xt= (x1,...,xn) Aunque para los casos n = 1, 2 y 3 se emplearán las notaciones usuales de x, (x, y) y (x, y, z) respectivamente.


2.- Restricciones: Una vez determinadas las variables independientes, el siguiente paso es establecer, mediante ecuaciones o inecuaciones las relaciones existentes entre las variables de decisión. Estas relaciones son debidas, entre otras razones, a limitaciones en el sistema, a leyes naturales o a limitaciones tecnológicas y son las llamadas restricciones del sistema. Podemos distinguir dos tipos de restricciones:


(a) Restricciones de igualdad: Son ecuaciones entre las variables de la forma h (x) = h (x1,....xn)=0 donde g : A ⊆ Rn → R es una función real de variables reales definida sobre un conjunto A de números reales.


(b) Restricciones de desigualdad: Son inecuaciones entre las variables de la forma g (x) = g(x1,....xn) ≤ 0 donde A : C ⊆ Rn → R es una función real de variables reales definida sobre un conjunto A de números reales.


Observación: Solamente se han considerado restricciones de dos tipos: restricciones de igualdad del forma h (x1,....xn)=0 y restricciones de desigualdad de la forma g(x1,....xn) ≤ 0, debido a que siempre es posible, mediante una simple transformación, expresar el problema en términos de esta clase de restricciones.

Función objetivo: Finalmente, el último ingrediente de un problema de optimización es la función objetivo, también llamado índice de rendimiento o criterio de elección. Este es el elemento utilizado para decidir los valores adecuados de las variables de decisión que resuelven el problema de optimización. La función objetivo permite determinar los mejores valores para las variables de decisión. Independientemente del criterio seleccionado, dentro del contexto de la optimización matemática el adjetivo “mejor” siempre indica los valores de las variables de decisión que producen el mínimo o máximo valor (según el criterio utilizado) de la función objetivo elegida. Algunos de estos criterios pueden ser por ejemplo de tipo económico (coste total, beneficio), de tipo tecnológico (energía mínima, máxima capacidad de carga, máxima tasa de producción) o de tipo temporal (tiempo de producción mínimo) entre otros.


Puntos de Inflexión


Se define un punto de inflexión como el punto en que la función pasa de ser convexa a cóncava o de cóncava a convexa.


En la siguiente gráfica podemos ver que cuando x = 0, la gráfica pasa de ser cóncava a ser convexa, por lo que podemos decir que el punto de inflexión esta en X = 0.





Una característica de los puntos de inflexión es que son los puntos donde la función derivada tiene máximos y mínimos. Si nos fijamos, cuando nos acercamos a un punto de inflexión la función cada vez crece más (o decrece menos), pero al sobrepasar el punto de inflexión la función empieza a crecer menos (o decrecer menos). Esto significa que justamente donde haya un punto de inflexión la derivada tendrá un máximo o un mínimo. Consecuentemente encontraremos los puntos de inflexión buscando ceros de la segunda derivada.


Vamos a ilustrar el proceso con un ejemplo para así dar una explicación simple y clara:


Consideraremos la función F(x) = x³ - 3x (es la función representada en la anterior gráfica).


Sabemos ya calcular los máximos y los mínimos de la función f(x) usando la primera derivada. La expresión de ésta es 3x² - 3 y justamente encontramos máximos y mínimos respectivamente en x = -14 y x = 1 . Si representamos la gráfica de la derivada queda:



Observamos que justamente donde la derivada tiene un mínimo es donde la función tiene el punto de inflexión.


Para saber qué punto es vamos a derivar la función derivada e igualarla a cero: F´´(x) = 6x=0 = x = 0/6 = 0, y por tanto la función original en x = 0 tiene un punto de inflexión.


Máximos y Mínimos


Loas máximos y mínimos de una función son los valores más grandes o más pequeños de ésta, ya sea en una región o en todo el dominio.



Los máximos y mínimos en una función f son los valores más grandes (máximos) o más pequeños (mínimos) que toma la función, ya sea en una región (extremos relativos) o en todo su dominio (extremos absolutos).





A continuación tenemos un vídeo acerca de lo que es optimización clásica